Im Mai 1991 ahnten die Besucher einer Konferenz des Mathematical Sciences Research Institute in Kalifornien nicht, dass sie eine große Überraschung erwartete. Der britische Stringtheoretiker Philip Candelas, damals an der University of Texas in Austin, stellte dort seine Forschungsergebnisse vor, doch die größtenteils aus Mathematikern bestehende Zuhörerschaft zweifelte die Richtigkeit dieser Arbeit an.

Der Physiker behauptete, eine Formel gefunden zu haben, die angibt, wie viele Kurven auf einem extrem komplizierten sechsdimensionalen Gebilde verlaufen können. Mathematiker konnten bisher bloß einfachste Versionen dieser Kurven mit aufwändiger Computerunterstützung zählen. Außerdem hatten sie kein Muster hinter der jeweiligen Anzahl erwartet – geschweige denn, dass sich eine Formel zu ihrer Berechnung finden ließe.

Während des Vortrags fiel einigen Zuhörern auf: Candelas Wert für die Anzahl bestimmter Kurventypen unterschied sich von dem bereits bekannten Ergebnis der norwegischen Mathematiker Stein Arild Strømme, damals an der University of Utah, und Geir Ellingsrud, damals an der Universität Bergen. »Die algebraischen Geometer im Publikum zeigten sich arrogant, sie nahmen an, dass die Physiker einen Fehler gemacht hatten«, schreibt der Organisator der Konferenz und Fields-Medaillenträger Shing-Tung Yau in seinem Buch »The Shape of Inner Space«. Während Candelas und seine Kollegen daraufhin fieberhaft nach einem Fehler suchten, entdeckten Strømme und Ellingsrud etwa einen Monat später Ungereimtheiten in ihrem Programmcode – und gaben öffentlich bekannt, dass die Physiker richtiglagen.

Das Ergebnis von Candelas und seinen Kollegen hatte enorme Auswirkungen, die über das bloße Zählen von Kurven hinausgeht: Es deutete auf eine grundlegende Verbindung zwischen zwei völlig unterschiedlichen geometrischen Gebieten hin. Eine solche Übereinstimmung hatte niemand erwartet – und sie gibt Fachleuten bis heute zahlreiche Rätsel auf. Inzwischen haben einige Mathematiker herausgefunden, dass das junge Fachgebiet der tropischen Geometrie die ungeahnten Gemeinsamkeiten beider geometrischen Welten erklärt.

Ein Universum aus Fäden

Der bizarre Zusammenhang fiel erstmals Stringtheoretikern in den 1980er Jahren auf. Die Stringtheorie soll die Schwerkraft mit den quantenmechanischen Gesetzen der Teilchenphysik verbinden, indem sie winzige Fädchen (»strings«) definiert, die durch ihre Schwingungen die bekannten Elementarteilchen und Grundkräfte erzeugen.

Allerdings funktioniert die spekulative Theorie nur, wenn die Welt, die sie beschreibt, neun Raumdimensionen besitzt. Das widerspricht unserem Verständnis des Universums, in dem wir nur drei wahrnehmen. Ein Ausweg besteht darin, anzunehmen, dass die überschüssigen Dimensionen an jedem Punkt unserer Raumzeit ganz klein aufgerollt (kompaktifiziert) sind, so dass wir sie nicht bemerken. Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, zu welcher sechsdimensionalen Form sie kompaktifiziert sein könnten. Je nachdem, ob die Strings in einer sechsdimensionalen »Kugeloberfläche« oder einem »Donut« hin- und herschwingen, ergeben sich daraus völlig andere physikalische Gesetze.

Stringtheoretiker gehen davon aus, dass sich unsere Welt bloß dann beschreiben lässt, wenn die überschüssigen Dimensionen auf ganz bestimmte Weise aufgerollt sind: zu so genannten Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten. Allerdings gibt es unendlich viele davon, die sich zum Teil stark voneinander unterscheiden. Herauszufinden, welche dieser ungewöhnlichen sechsdimensionalen »Oberflächen« unsere Naturgesetze passend beschreibt, gehört zu den schwierigsten Aufgaben der Stringtheorie. Denn die extrem komplizierten geometrischen Gebilde bereiten selbst Mathematikern Kopfschmerzen.

Die Situation ist allerdings noch verzwickter: Es gibt nicht nur eine Art von Stringtheorie, die unsere Welt beschreiben könnte, sondern sogar fünf, die sich durch ihre Symmetrien unterscheiden. Zunächst schienen die verschiedenen Versionen nichts miteinander zu tun zu haben. Doch als Ende der 1980er Jahre der Physiker Wolfgang Lerche, damals am California Institute of Technology in Pasadena, mit seinen Kollegen die Typ-IIA-Stringtheorie mit einer bestimmten Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit studierte, stellte er fest, dass die Typ-IIB-Stringtheorie für eine vollkommen andere Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit die gleichen Resultate lieferte. Die Physiker konnten ihren Augen kaum trauen. Sie spielten das Szenario für verschiedene Kompaktifizierungen durch und stießen immer wieder auf das gleiche Ergebnis. Offenbar haben die auf den ersten Blick grundverschiedenen geometrischen Gebilde mehr Gemeinsamkeiten als gedacht.

Diese mysteriöse Entdeckung nannten die Physiker fortan Spiegelsymmetrie, da sie jeder Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit X einen »Spiegel« Y zuordnet. Das überraschende dabei ist, dass sich X und Y kein bisschen ähneln: Selbst wenn man die extrem grobe Einordnung von Topologen nutzt, die Figuren unabhängig ihrer genauen Form bloß nach der Anzahl ihrer Löcher kategorisieren (für sie sind ein Donut und eine Tasse identisch), unterscheiden sich die Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten drastisch. Zum Beispiel könnte X zwei Löcher haben, während Y kein einziges besitzt. Dass beide Objekte zur gleichen Physik führen, ist, als würde man einen Fußballspieler beobachten, der mit einem Ball genauso gut umgeht wie mit einem viereckigen Betonklotz.

Ein Spiegel vereinfacht die Welt der Stringtheorie

Für Physiker war diese Übereinstimmung von Anfang an ein Segen. Denn einige hochkomplizierte Probleme der Typ-IIA-Stringtheorie fallen im Spiegel deutlich einfacher aus – und machen eine Berechnung oft überhaupt erst möglich. Das äußert sich insbesondere in einem vereinfachten Modell der Stringtheorie, der so genannten topologischen Stringtheorie. Physiker ziehen sie heran, um sonst unergründliche Eigenschaften der vollständigen Theorie zu untersuchen. Denn auch wenn die vereinfachte Variante nicht unsere echte Welt widerspiegelt, teilt sie dennoch einige Merkmale mit der gewöhnlichen Stringtheorie.

Statt fünf gibt es nur zwei verschiedene Versionen der topologischen Stringtheorie: das A- und das B-Modell. Glücklicherweise existiert auch im vereinfachten Modell eine Spiegelsymmetrie. Zu jedem A-Modell mit einer Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit X gibt es ein dazu äquivalentes B-Modell mit einer anderen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit Y.

Diese Eigenschaft hatten Candelas und seine Kollegen genutzt, als sie die Bewegungen von »geschlossenen« Strings (deren Enden sich zu einem Ring verbinden) im A-Modell untersuchten. Die möglichen Schwingungen der winzigen Fäden zu verstehen, ist für Stringtheoretiker essenziell, da aus ihnen alle beobachtbaren physikalischen Phänomene folgen. Allerdings sind die Berechnungen auf der A-Seite extrem schwierig: Ein quantenmechanisches Teilchen wie ein String bewegt sich nicht geradewegs von einem Punkt zum nächsten. Stattdessen müssen Physiker alle möglichen Pfade berücksichtigen, die es gehen könnte, und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für jeden dieser Wege in einer unendlichen Summe aufaddieren. Bis auf einzelne Ausnahmen lässt sich eine solche Berechnung auf der A-Seite überhaupt nicht bewerkstelligen.

Doch die Spiegelsymmetrie bot den Physikern einen Ausweg. Anstatt sich mit diesem komplizierten Problem herumzuschlagen, verlagerten sie ihre Berechnungen auf die B-Seite. Dort fallen die quantenmechanischen Korrekturen für die Bewegungen geschlossener Strings überraschenderweise weg: Ihre Schwingungen lassen sich durch rein geometrische Überlegungen ermitteln.

Dieses Ergebnis präsentierten Candelas und seine Kollegen 1991 auf der eingangs erwähnten mathematischen Konferenz. Denn die Bewegungen von geschlossenen Strings hinterlassen schlauchartige Spuren in der Raumzeit, die jenen rationalen Kurven entsprechen, an denen Geometer schon so lange interessiert sind. Seit der Erforschung von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten fragten sie sich, wie viele »rationale Kurven« auf diesen seltsamen Gebilden Platz finden. In die Sprache der Stringtheorie übersetzt lautet diese Frage: Wie viele Möglichkeiten haben geschlossene Strings, sich in einer Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit zu bewegen? Genau das konnten Candelas und seine Kollegen mit Hilfe der Spiegelsymmetrie beantworten.

Wenn die Spiegelsymmetrie es aber ermöglicht, Kurven auf Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten zu zählen, könnte man sie vielleicht auch ganz allgemein als mathematisches Werkzeug in der enumerativen Geometrie nutzen – einer Disziplin, in der es darum geht, Kurven auf Oberflächen zu zählen. Dieser Hoffnung folgend stürzten sich immer mehr Mathematiker auf die Spiegelsymmetrie, um sie besser zu verstehen.

Denn hinter der Spiegelsymmetrie schien ein bisher unbekannter Mechanismus zu stecken, der zwei unterschiedliche mathematische Bereiche verbindet: die so genannte symplektische Geometrie, durch die das A-Modell definiert ist, und die dem B-Modell zu Grunde liegende algebraische Geometrie. Beide Konzepte weichen dabei nicht zwingend durch die äußere Erscheinung der Objekte, die sie beschreiben, voneinander ab, sondern durch deren innere Struktur. Es ist, als würde man verschiedene Baustoffe vergleichen.

Zwei unterschiedliche Baustoffe erweisen sich als gleich

Die algebraische Geometrie ist recht steif. Sie beschreibt Objekte, die sich durch Polynomgleichungen beschreiben lassen, wie: \(f(x) = 3x^3 + 2x^2 +5x +3.\) Verändert man beispielsweise die Form einer solchen Kurve ganz leicht, dann lässt sie sich möglicherweise nicht mehr durch eine polynomiale Gleichung beschreiben – und ist dadurch nicht mehr algebraisch.

Die symplektische Geometrie ist dagegen viel flexibler. Zupft man an einer Ecke einer symplektischen Kurve, dann ist sie danach immer noch symplektisch.

Dieser Teilbereich der Geometrie entstand aus der klassischen Mechanik. Um beispielsweise einen fliegenden Ball zu beschreiben, ist es wichtig, nicht nur seinen Ort zu jeder Zeit, sondern auch die dazugehörige Geschwindigkeit zu kennen. Aus diesen beiden Größen konstruieren Physiker einen so genannten Phasenraum. Jeder Punkt darin repräsentiert Ort und Geschwindigkeit zu einer bestimmten Zeit. Das unterscheidet sich drastisch von der algebraischen Geometrie, in der eine Figur der Lösung einer polynomialen Gleichung entspricht.

Was ist es also, das diese so unterschiedlich erscheinenden Konzepte verbindet? Tatsächlich lüftet die Stringtheorie das Geheimnis. Denn die symplektische Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit und ihr Spiegel teilen eine gemeinsame Komponente, die mit offenen Strings zusammenhängt. Anders als die geschlossenen Fäden, die Candelas mit seinen Kollegen erforschte, flattern die Enden offener Strings nicht lose im Raum herum, sondern haften an seltsamen Gebilden, so genannten D-Branen. Man kann sich Letztere vereinfacht als Flächen vorstellen, auch wenn sie im Allgemeinen mehr als zwei Dimensionen haben.

1996 hatten Andrew Strominger, damals an der University of California in Santa Barbara, Shing-Tung Yau und Eric Zaslow, damals beide an der Harvard University, erkannt, dass die Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit im B-Modell mit den D-Branen des A-Modells zusammenhängt. Genauer gesagt erzeugen alle D-Branen der A-Seite einen Raum, in dem jeder Punkt einer solchen Brane entspricht. Dieser Raum lässt sich als komplexe hochdimensionale Oberfläche darstellen, die der gesuchten Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit der B-Seite entspricht.

Weil die offenen Strings aus dem A-Modell an den D-Branen hin- und herschwingen, entstehen dabei allerdings komplizierte Vibrationen, die sich auf die komplexe Geometrie der B-Seite auswirken. Das stellt Fachleute vor eine große Herausforderung, denn solche Quanteneffekte lassen sich nicht ohne Weiteres berechnen.

Auf der Suche nach einer Lösung dieses Problems stießen Bernd Siebert von der University of Austin und Mark Gross vom King's College in Cambridge, 2007 auf die tropische Geometrie; einem jungen Fachgebiet der Mathematik. In diesem werden geometrische Objekte auf ihre wesentlichen Bestandteile reduziert – Fachleute sprechen von Tropisierung. Das Erstaunliche: Trotz der massiven Vereinfachung der Objekte behalten sie einige ihrer wichtigsten Eigenschaften bei.

Tropische Spuren von Strings

Um Oberflächen oder höherdimensionale Mannigfaltigkeiten zu tropisieren, ersetzt man die Koordinaten durch die Logarithmen ihrer Beträge und betrachtet die neue Struktur für den Grenzfall, dass die Basis des Logarithmus gegen unendlich geht. Auf diese Weise wird aus der sechsdimensionalen symplektischen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit des A-Modells eine dreidimensionale »Oberfläche«.

Neben der Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit der A-Seite tropisierten Siebert und Gross auch alle darauf verlaufenden Kurven, die den Bewegungen offener und geschlossener Strings entsprechen. Auf der dreidimensionalen Oberfläche (der ehemaligen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit) sehen die tropischen Kurven aus wie gebietsweise Geraden. Je nachdem, wie sie sich auf der dreidimensionalen Struktur zusammensetzen, können dabei offene oder geschlossene tropische Kurven entstehen.

Gross und Siebert erkannten, dass sie aus den offenen tropischen Kurven die komplexe B-Seite herleiten können. Denn die Anzahl offener Kurven bestimmt, wie sich die Schwingungen offener Strings auf die Geometrie des B-Modells auswirken. Mit diesen quantenmechanischen Korrekturen haben die beiden Mathematiker schließlich den Spiegel einer symplektischen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit konstruiert.

Das bringt Siebert seinem Ziel einen Schritt näher: die Spiegelsymmetrie als mathematisches Werkzeug zu etablieren, wie es Physiker für einige Spezialfälle schon seit über 25 Jahren nutzen. Die tropische Geometrie scheint dabei der fehlende Baustein zu sein, nach dem viele Mathematiker so lange gesucht haben. Sie bildet die Brücke in der Geometrie, wo niemand zuvor eine Verbindung erwartet hatte.